1)
координаты векторов и их разложение по единичным базисным векторам i, j, k следующие:
АВ = (2+3; -1-2; -3+1) = (5; -3; -2) = 5i -3j - 2k
СД = (-1-1; 2+4; -2-3) = (-2; 6; -5) = -2i + 6j -5k
|2AB + 3CD| = |2*(5i -3j - 2k) + 3*(-2i + 6j -5k)| = |4i + 12j - 19k| = √(4² + 12² + (-19)²) = √521
2) также находим координаты векторов
СД = (-4; 4; 0)
МN = (-3; 4; -5)
|CD| = √(16+16) = 2√2
|MN| = √(9 + 4 + 25) = 4√3
скалярное произведение в координатах:
CD * MN = (-4)*(-3) + 4*4 + 0* (-5) = 28
также скалярное произведение можно записать как:
CD*MN = |CD|* |MN| * cos(CD,^MN)
cos(CD,^MN) = CD*MN/(|CD|*|MN|) = 28/(2√2 * 4√3) = 13/(4√6)
3) два вектора ортогональны, если их скалярное произведение произведение равно 0
отсюда следует:
(6-k)* (-3) + k(5+5k) + 2*(-9) = 0
25k² + 8k - 36 = 0
решая его получим х1,2 = (-8±4√229 )/50 - это и есть ответ
4) найдем координаты векторов:
АВ = (6; -2; 4)
СД = (-3; -а; а-1)
вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны
6/(-3) = -2/(-а) = 4/(а-1)
отсюда находим а = -1