В прямоугольном треугольнике вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в...

Question

В прямоугольном треугольнике вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите стороны треугольника ,если центр вписанной окружности удалён от вершины прямого угла на расстоянии корень из 8. В ответе запишите сумму длин сторон данного треугольника.

Answer 1

См обозначения и рисунок в приложении
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
По теореме Пифагора
r²+r²=(√8)²
2r²=8
r²=4
r=2
По теореме Пифагора
(2х+2)²+(3х+2)²=(5х)²
4х²+8х+4+9х²+12х+4=25х²
12х²-20х-8=0
3х²-5х-2=0
D=25+24=49
x=2  или   х=-1/3 не удовл условию

2·2+2=6 -длина одного катета
3·2+2=8 - длина другого катета
5·2=10 - длина гипотенузы
Р=6+8+10=24
Ответ. 24

---