Картинка в описании

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Воспользуемся формулой суммы в кубе, записав ее в следующем виде: (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)
Обозначим : a=(x-3)^1/3 b=(2x)^1/3 c=(3x+15)^1/3
x-3+3abc+2x=3x+15
3abc=18
(x-3)*2x*(3x+15)=6*6*6
(x*x-3x)(x+5)=36
x^3+2x^2-15x-36=0
Очевидно, один корень х=4
Это можно было заметить и в исходном уравнении.
Поделим многочлен на (х-4)
Получим
х^2+6x+9=0
x=-3
Проверкой убеждаемся, что этот корень лишний, он не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х=4

iosiffinikov_zn (62.2k баллов) 12 Апр, 18

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-12T20:09:17+0000

${ ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } = { ^3\sqrt{ 3x + 15 } }$ ; «условие»

Возведём всё в куб, используя формулу куба суммы (кубического бинома) $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ;

$( ^3\sqrt{ x - 3 } )^3 + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } )^2 ( ^3\sqrt{2x} ) + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } ) ( ^3\sqrt{2x} )^2 + ( ^3\sqrt{2x} )^3 = ( ^3\sqrt{ 3x + 15 } )^3$

$x - 3 + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } ) ( ^3\sqrt{2x} ) ( { ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } ) + 2x = 3x + 15$ ;

$3 (^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ) ( { ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } ) = 18$ ;

$^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ( ^3\sqrt{ x - 3 } + { ^3\sqrt{2x} } ) = 6$ ;

Заменим вторую скобку через «условие»

$( ^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ) ( ^3\sqrt{ 3x + 15 } ) = 6$ ;

$^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) ( 3x + 15 ) } = 6$ ;

$2x ( 3x^2 + 6x - 45 ) = 6^3$ ;

$6x^3 + 12x^2 - 90x = 216$ ;

$6x^3 + 12x^2 - 90x - 216 = 0$ ;

$x^3 + 2x^2 - 15x - 36 = 0$ ; «кубур»

Из следствия из Теоремы Безу о рациональных корнях, числители которых делят свободное слогаемое 36, имеем :

$x \in \{$ ± $1 ;$ ± $2 ;$ ± $3 ;$ ± $4 ;$ ± $6 ;$ ± $9 ;$ ± $12 ;$ ± $18 ;$ ± $36 \}$ ;

Подставим эти потенциальные корни в кубическое уравнение «кубур»

x = ± 1 : вычисление четырёхчлена : ± $1 + 2*1 - ($ ± $15*1 ) - 36$ ≠ $0$ ;

x = ± 2 : вычисление четырёхчлена : ± $8 + 2*4 - ($ ± $15*2 ) - 36$ ≠ $0$ ;

x = ± 3 : вычисление четырёхчлена : ± $27 + 2*9 - ($ ± $15*3 ) - 36 = 0$ при x = –3 ;

$x_1 = -3$ ;

Итак, один корень уравнения «кубур» это –3.

Разложим кубический четырёхчлен «кубур» на множители, вынося скобку (x+3):

$x^3 + 2x^2 - 15x - 36 = x^2(x+3)-x(x+3)-12(x+3) = 0$ ;

$( x^2 - x - 12 )(x+3) = 0$ ;

$D = 1 - 4*1*(-12) = 49 = 7^2$ ;

$x_{2,3} = \frac{1}{2}( 1$ ± $7)$ ;

$x_2 = -3$ ;

$x_3 = 4$ ;

$x_{1,2} = -3 ; x_3 = 4 ;$ ;

Сдвоенные корни « –3 » верны при подстановке в «условие» только с вычислением подходящих комлексных алгебраических значений кубических корней, а при обычном арифметическом расчёте являются посторонними.

Ответ: x = 4 ;