Найдите все целые значения q, для которых уравнение х2 + px + p = q имеет целый корень...

Question

Дано ответов: 2

oleg20010_zn · Answer 1 · 2018-03-06T06:12:12+0000

x^2 +px +p=q

I)x^2 +px +(p-q)=0

D = p^2 - 4p+4q >=0

II) решаем неравенство p^2 -4p+4q>=0

1) Рассмотрим функцию f(x)= p^2 -4p+4q

2)Нули функции p^2 -4p+4q=0

D=16-16q >=0

16q<=16</p>

q<=1</p>

Ответ:1

Проверка и пояснения:

Если мы вместо q подставим 1, то мы получим D=16-16 =0

p1=(4+0)/2=2

p2=(4-0)/2=2

Итак, при q=1 уравнение имеет один целый корень p=2.

Оба условия задачи выполнены:

p=2 - целое число

q=1 -целое число

Подставим оба параемтра в уравнение:

x^2+2x +2=1

x^2+2x+2-1=0

x^2+2x+1=0

D=4-4=0

x1=x2=-2/2 =-1

Итак x=-1

Это ЦЕЛЫЙ отрицательный корень

LimLan_zn · Answer 2 · 2018-03-06T06:12:13+0000

$x^2+px+p-q=0$

Для начала заметим, что для любого q можно подставить р=q и получить выражение

$x^2+qx=0\\ x(x+q)=0$

т.е. всегда существует одно р.

Попробуем доказать, что всегда существует и второе.

$x^2+px+p-q=0\\ D=p^2-4p+4q\\ x=\frac{-p+- \sqrt{p^2-4p+4q} }{2}$

Числитель в последнем равенстве всегда кратен 2, т.к. при нечётных р: -р и D нечётны следовательно их разность и сумма чётны, а при чётных р: -p и D чётны следовательно их сумма и разность тоже чётны.

Нам осталось доказать, что в уравнении D=p^2-4p+4q для любого q существует р такое что D представим в виде $n^2$ , где n-любое натуральное число.

Действительно

$p^2-4p+4q=n^2\\ p^2-4p+4q-n^2=0\\ D=16-16q+4n^2=4\cdot(n^2-4q+4)$

при n=q дискриминант извлечётся и мы получим p=4-q

Подставив в изначальное мы можем убедиться, что при р=4-q хотя бы один корень исходного уравнения будет целым.

Обобщим решение:

мы получили, что для любого целого q существуют целые p=q и р=4-q,что хотя бы один корень исходного уравнения целый.

Ответ:таких q нет