1.
Проведем высоту наклонной призмы из вершины С₁.
Так как грань АА₁С₁С перпендикулярна плоскости основания, высота будет лежать в этой грани, а основание высоты - точка Н - на прямой АС.
АС ⊥ ВС так как ∠АСВ = 90° по условию, т.е.
СН⊥ВС, СН - проекция наклонной С₁С на плоскость основания, значит
С₁С⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.
2.
Пусть А₁О⊥АВС.
Вершина А₁ равноудалена от всех вершин нижнего основания, т.е. А₁А = А₁В = А₁С.
Равные наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции:
АО = ВО = СО, тогда точка О - центр правильного треугольника АВС (точка пересечения медиан, биссектрис и высот, которые совпадают).
Так как АН⊥ВС, то и АО⊥ВС,
АО - проекция А₁А на плоскость основания, значит
А₁А⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
ВВ₁║АА₁, значит и ВВ₁⊥ВС.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.
3.
Пусть Sbb₁c₁c = 6 см², Sabb₁a₁ = 3√2 см².
КМР - сечение призмы, перпендикулярное боковому ребру.
Тогда ВВ₁⊥КМ и ВВ₁⊥МР, значит ∠КМР = 135° - линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.
Sbb₁c₁c = BB₁ · KM
KM = Sbb₁c₁c / BB₁ = 6 / 3 = 2 см
Sabb₁a₁ = BB₁ · MP
MP = Sabb₁a₁ / BB₁ = 3√2 / 3 = √2 см
По теореме косинусов из ΔКМР:
КР² = KM² + MP² - 2·KM·MP·cos135° = 4 + 2 - 2·2·√2·(- √2/2) = 6 + 4 = 10
KP = √10 см
Sacc₁a₁ = AA₁ · KP = 3√10 см
Sбок = Sbb₁c₁c + Sabb₁a₁ + Sacc₁a₁ = (6 + 3√2 + 3√10) = 3(2 + √2 + √10) см²