В эллипс x^2/128 + y^2/32=1 вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого...

Выразим уравнение эллипса относительно у:
$x^2+4y^2=128$
Отсюда $y=+- \sqrt{ \frac{-x^2}{4}+32 } = \frac{+- \sqrt{128-x^2} }{2}$ .
Если стороны прямоугольника параллельны осям, то его стороны разбиваются осями пополам.Рассмотрим максимальную площадь в 1 четверти (в положительных значениях).
$S=x*y= \frac{x \sqrt{128-x^2} }{2} .$
Для определения максимума этой функции найдём её производную и приравняем нулю.
$y'= \frac{64-x^2}{ \sqrt{128-x^2} } .$
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю.
64 - х² = 0
х = √64 = 8.
$y= \frac{ \sqrt{128-8^2} }{2} = \frac{ \sqrt{64} }{2} = \frac{8}{2} =4.$
Ответ: стороны прямоугольника, вписанного в заданный эллипс. равны 16 и 8.