Помогите решить уравнение!!!!

0 голосов
44 просмотров

Помогите решить уравнение!!!!

4^{cosx} + 4^{-cosx} = \frac{5}{2}

Алгебра (62 баллов) | 44 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

4^(cosx)+4^(-cosx)=5/2. показательное уравнение.
 замена переменных: 4^(cosx)=t, t>0
t+1/t=5/2 |*t
t²-(5/2)*t+1=0
t²-2,5t+1=0
D=2,25.  t₁=-1/2. t₂=2
обратная замена:
t₁=1/2. 4^(cosx)=1/2,  4^(cosx)=4⁻¹/².  cosx=⁻1/2.
x=+-arccos(-1/2)+2πn, n∈Z.  x=+-(π-π/3)+2πn, n∈Z

t₂=2. 4^(cosx)=2,  4^(cosx)=4¹/².  cosx=1/2.  x=+-π/3+2πn, n∈Z

x₁=+-2π/3+2πn, n∈Z
x₂=+-π/3+2πn, n∈Z

(276k баллов)
0 голосов
y=4^{cosx}
y+ \frac{1}{y}= \frac{5}{2}
y^2+1-2.5y=0
y^2-2.5y+1=0
D=6.25-4=2.25
y_{1}= \frac{2.5-1.5}{2}= \frac{1}{2}
y_{2}= \frac{2.5+1.5}{2}=2

При у=1/2
4^{cosx}= \frac{1}{2}
4^{cosx}=2^{-1}
2^{2cosx}=2^{-1}
2cosx=-1
cosx=- \frac{1}{2}
x=(+/-) \frac{2 \pi }{3}+2 \pi k,k∈Z

При у=2
4^{cosx}=2
2^{2cosx}=2^1
2cosx=1
cosx= \frac{1}{2}
x=(+/-) \frac{ \pi }{3}+2 \pi k,k∈Z

Ответ: (+/-) \frac{ \pi }{3}+2 \pi k,k∈Z;
            (+/-) \frac{2 \pi }{3}+2 \pi k,k∈Z.
(233k баллов)
Похожие задачи