1. Отрезок О₁О₂ соединяет середины сторон треугольника, значит, он - средняя линия треугольника.
В ΔАВС ∠С = 90°, ∠В = 60°, ⇒ ∠А = 30°.
АВ = 2АО₁ = 4√35
ВС = АВ/2 = 2√35 как катет, лежащий напротив угла в 30°
О₁О₂ = ВС/2 = √35 как средняя линия ΔАВС
Ответ: 3.
2. Пусть АО = х, тогда ОС = х + 9
Для составления уравнения воспользуемся свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (см. рис. 1)
ВО² = АО·ОС
36 = x(x + 9)
x² + 9x - 36 = 0
D = 81 + 144 = 225
x = (-9 + 15)/2 = 3 или x = (- 9 - 15)/2 = - 12 не подходит по смыслу задачи
АО = 3 см, тогда ОС = 3 + 9 = 12 см
Ответ: 2.
3.
Воспользуемся теми же свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (см. рис. 1)
АС = АО + ОС = 30 см
АВ² = АО·АС = 24·30 = 720
АВ = √720 = 12√5 см
ВС² = ВО·АС = 6·30 = 180
ВС = √180 = 6√5 см
Ответ: 2.
4. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 :1, считая от вершины. Из равенства отрезков ОВ₁ = ОС₁ = ОА₁ следует равенство медиан и, следовательно, треугольник АВС равносторонний.
ОВ₁ = АВ√3/6 как радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.
АВ√3/6 = √8
АВ = 6√8/√3 = 2√24 = 4√6 дм
Sabc = AB²√3/4 = 16·6·√3/4 =24√3 дм²
Ответ: 4.
5. Воспользуемся теми же свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (см. рис. 1)
BE² = AE · ED
AE = BE²/ED = 400/12 = 100/3 м
AD = AE + ED = 100/3 + 12 = 136/3 м
Sabcd = AD · BE = 136/3 · 20 = 2720/3 = 906 2/3 м
Ответ: 1.
6. Считаем, что и ракета и космонавт расположены перпендикулярно земле. Тогда можно рассмотреть два треугольника, образованных - первый: ракетой, ее тенью и отрезком, соединяющим верхнюю точку ракеты с дальней точкой тени (угол между ракетой и тенью прямой), и второй: космонавтом, его тенью и отрезком, соединяющим верхнюю точку космонавта с дальней точкой тени (угол между космонавтом и тенью прямой).
Треугольники подобны по двум углам (один угол прямой, и солнце светит на них по одинаковым углом).
36 : 1,2 = х : 1,9
х = 36 ·1,9/1,2 = 57 м
Ответ: 3