При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n =1 выражение 4m^2+2mn-n^2 −...

Question

При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n =1 выражение 4m^2+2mn-n^2 − принимает наименьшее значение?

Answer 1

4m²+2mn-n²

m+n=1      ⇒    m=1-n

4(1-n)²+2n(1-n)-n²=4(1-2n+n²)+2n-2n²-n²=4-8n+4n²+2n-3n²=n²-6n+4

это парабола с рогами вверх(т.к. коэффициент при n²>0)

значит вершина параболы будет минимум

найдем значение n

для параболы

ах²+bx+c    абсцисса вершины равна

 

значит для нашего случая

n=6/2=3

подставим в m+n =1

получим m=1-3=-2

добавлю ,что при решении всего этого относительно m получим еще пару

n=-2

m=3

 

Answer 2

m+n=1, n=1-m

3m^2+2mn-2n^2=3m^2+2m(1-m)-2(1-m)^2=3m^2+2m-2m^2-2+4m-2m^2=-m^2+6m-2=-(m^2-6m)-2=-(m^2-6m+9)+9-2=-(m-3)^2+7

Выражение принимает наибольшее значение при m=3 и n=-2