Есть формула: площадь правильного 12-угольника при радиусе вписанной окружности r равна 12(2-√3)*r². Она выводится так: площадь основания равна сумме площадей 12 равнобедренных треугольников, каждая из которых равна S1=(1/2)*a*r. Угол при вершине равен 360°:12=30°, половина же его =15°. Имеем: Tg(α/2)=a/(2r) - противолежащий катет к прилежащеиу, отсюда а=2r*tg(α/2) и S1=(1/2)*2r*tg(α/2)*r=r²*tg(α/2). По тригонометрическим формулам приведения имеем: tg(α/2)=(1-Cosα)/Sinα. Угол α у нас равен 30°. Sin30=1/2, cos30=√3/2. Подставляем и получаем: tg(α/2)=(2-√3) и S1=r²*tg(α/2) или S1=r²*(2-√3). А так как таких треугольников у нас 12, то площадь основания равна 12*(2-√3)*r².
В нашем случае апофема боковой грани 12-угольной пирамиды наклонена под углом 45° к основанию. Зная, что апофема - это высота боковой грани, опущенная в точку касания вписанной в основание пирамиды окружности со стороной основания, получаем по Пифагору (2√2)²=r²+h², откуда r=h=2.
тогда по формуле имеем: So=12(2-√3)*4=48(2-√3).
Объем пирамиды равен (1/3)*So*h=32(2-√3) или 64-32√3.