Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2x и прямой y=x+2

$y = x^2+2x, \ y = x+2$

Поднимим графики функции так, что бы фигура ограниченная параболой и прямой лежала выше оси абсцисс.

Для этого найдём вершину параболы y и если она отрицательная, прибавим к y величину равную модулю значения параболы в вершине.

$x = -\frac{2}{2} = -1, \ y = -1\\\\ y = x^2+2x+1, \ y = x+3$

Найдём точки пересечения графиков:

$x^2+2x+1 = x+3\\\\ x^2+x-2 = 0\\\\ x_1x_2 = -2 = (-2)*1\\\\ x_1+x_2 = -1 = - 2 + 1\\\\ x_1 = -2, \ x_2 = 1\\\\ x^2+x-2 < 0, \forall x \in (-2,1)$

Значит площадь искомой фигуры будет:

$\int\limits^{1}_{-2} x+3 \ dx - \int\limits^{1}_{-2} x^2+2x+1 \ dx=\\\\ \int\limits^{1}_{-2} x+3-x^2-2x-1 \ dx = \int\limits^{1}_{-2}-x^2-x+2 \ dx =\\\\ -\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x|\limits^{1}_{-2} = -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 - \frac{8}{3}+2+4 = \frac{9}{2}$