624. а) Проведём сечение шара и пирамиды АВСДS через её вершину S и диагональ основания ВД.
В сечении будет равнобедренный треугольник с основанием, равным диагонали квадрата основания пирамиды, и боковыми сторонами, равными боковым рёбрам пирамиды, и окружность, равная большому кругу шара с радиусом R.
Диагональ основания равна а√2.
Боковое ребро равно : ДS = (а√2/2)/cosφ = a/(√2*cos
φ).
Теперь находим R = ДS/(2sinφ) = a/(√2*cosφ*2sinφ) =
= a/(√2*sin(2
φ)).
Поверхность шара равна S = 4πR² =4π*a²/(2*sin²(2
φ)) =
= 2π*a²/(sin²(2
φ)).
Можно воспользоваться готовой формулой радиуса шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, по её высоте Н и ребру основания а:
Высоту Н находим из нашего сечения:
Н = a*tg
φ/√2.