Хелп, плиз Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды. Градусная мера угла...

0 голосов
60 просмотров

Хелп, плиз

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды. Градусная мера угла наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания равна 45 градусов.
Вычислите площадь осевого сечения конуса, если расстояние от центра основания пирамиды до образующей конуса равно 2 см

Геометрия (113 баллов) | 60 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

По условию MABCD -  правильная четырехугольная пирамида, около которой описан конус 

MO ⊥ (ABC)

∠ MKO=45^\circ

OF= 2  см

ΔAMC  - осевое сечение конуса, где AM  и MC - образующие конуса


Так как MABCD  - правильная четырехугольная пирамида,

значит в  основании лежит квадрат ABCD

AC ∩ BD=O

MO ⊥ (ABC)

Проведём MK  ⊥ BC,  тогда OK  ⊥ BC  и \ \textless \ MKO=45 ^\circ как линейный угол двугранного угла 

O  - центр окружности, описанной около квадрата  

Значит расстояние от центра основания пирамиды до образующей конуса есть длина перпендикуляра  OF, т. е.  OF ⊥ AM

Пусть OK=KB=x,  тогда AB=2x

d=a \sqrt{2},  где d - диагональ квадрата, a - сторона квадрата

AC=BD=2 \sqrt{2} x, ( как диагонали квадрата)

AO=OC=OB=OD=x \sqrt{2}

Δ MOK -  прямоугольный, равнобедренный,  следовательно MO=x

Рассмотрим Δ MOA - прямоугольный
 
по теореме Пифагора найдем MA= \sqrt{MO^2+AO^2}= \sqrt{x^2+(x \sqrt{2})^2}= \sqrt{ x^{2} +2x^2} = \sqrt{3x^2} =x \sqrt{3}

С одной стороны:  S_{MOA} = \frac{1}{2} *MO*AO= \frac{1}{2}*x*x \sqrt{2} = \frac{x^2 \sqrt{2} }{2},

 а с другой стороны:  S_{MOA}= \frac{1}{2} *MA*OF= \frac{1}{2}*x \sqrt{3}*2=x \sqrt{3}
Приравняем:

\frac{x^2 \sqrt{2} }{2} =x \sqrt{3}

x \sqrt{2} =2 \sqrt{3}

x= \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }

x= \sqrt{6}

OM= \sqrt{6}  см

Тогда S_{AMC}= \frac{1}{2}*MO*AC

AC=2AO=2 \sqrt{2}x=2 \sqrt{12} =4 \sqrt{3}  см

S_{AMC}= \frac{1}{2}* \sqrt{6} *4 \sqrt{3} =2 \sqrt{18}=6 \sqrt{2}  (см ²)

Ответ:  6 \sqrt{2}  см²



image
(83.6k баллов)
Похожие задачи