В ∆ АВС с катетами АС=36 и ВС=48 проведена высота к гипотенузе. Найти расстояние ОН от центра О вписанной в ∆ АВС окружности до этой высоты.
Обозначим высоту СМ.
Из О проведем до пересечения с гипотенузой перпендикулярно ей отрезок ОК
Тогда четырехугольник ОКМН - прямоугольник (три угла прямые, четвертый тоже прямой). ⇒
ОН=КМ.
КМ=АВ-ВК-АМ
Найдем гипотенузу ∆ АВС. По т.Пифагора она равна 60
АМ - проекция АС на гипотенузу.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу..
АС²=АВ*АМ
1296=60АM
АМ=21,6
ВМ=АВ-АМ=38,4
ОЕ- перпендикуляр из О на ВС
Отрезки касательных из одной точки равны (по теореме)
ВК=ОЕ=48-12=36⇒
ОН=38,4-36=2,4
