Функция Найти все значения параметра m, при которых уравнение f(x)=m имеет более одного...

Question

Функция
Найти все значения параметра m, при которых уравнение f(x)=m имеет более одного корня.
Заранее огромное спасибо

Answer 1

Сразу заметим, что f(x) - непрерывна и не имеет асимптот. Найдем ее промежутки возрастания и убывания.
f'(x)=4/3*(3-x)^3+4x/3*3(3-x)^2*(-1)=(3-x)^2*(4/3*(3-x)-4x/3*3)=(x-3)^2*(4-16/3*x)=-16/3*(x-3)^2*(x-3/4)
Нули производной: x=3, x=3/4.
f'(x)      +                                 -                                   -
---------------------- 3/4 --------------------------- 3 --------------------------->x 
f(x)    возрастает            убывает                       убывает
Отсюда следует, что максимум функции достигается при x=3/4.
При пересечении функции прямой y=m будет более одной точки в том случае, когда прямая y=m лежит ниже максимума f(x) - так она будет пересекать f(x) ровно в двух точках. Отсюда m < f(3/4)
f(3/4)=4/3*3/4*(3-3/4)^3=(9/4)^3=729/64
m<729/64

Comments

Как Вы определили знаки +- на прямой х?

---

Можно просто подставить какое-нибудь одно из значений на каждом промежутке. А вообще, я специально так выразил производную, чтобы знаки были ясны: в каждой скобке стоит выражение (x-a): при бесконечно большом значении x все произведение скобок будет положительным.

---

Минус перед скобками говорит о том, что при x > 3 производная будет отрицательной. А уже дальше можно определять знаки на основе знака при x>3. Так как 3 - кратный корень производной, то знак производной при переходе через x=3 не изменится. То есть при 3/4<x<3 производная останется отрицательной. При прохождении через x=3/4 производная поменяет знак на противоположный. Таким образом, при x < 3/4 f'(x)<0

---

Спасибо