В треугольнике АВС угол В равен 60°, ВС=3АВ. Около треугольника описана окружность...

Question

В треугольнике АВС угол В равен 60°, ВС=3АВ. Около треугольника описана окружность радиуса 8√3 и в него же вписана окружность с центром в точке О. Луч ВО пересекает сторону АС в точке М. Найдите СМ.

Answer 1

АС/sinB=2R ⇒ AC=2R·sinB=2·8√3·√3/2=24.
Центр вписанной в тр-ник окружности лежит на пересечении биссектрис углов; точка О ∈ ВМ, значит ВМ - биссектриса.
По теореме биссектрис АВ/ВС=АМ/СМ ⇒СМ=АМ·ВС/АВ=АМ·3АВ/АВ=3АМ.
АС=АМ+СМ=АМ+3АМ=4АМ,
АМ=АС/4=24/4=6,
СМ=3·6=18 - это ответ.