В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных из острых углов, равны 11 и 7....

Question

64 просмотров

В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных из острых углов, равны 11 и 7. найти площадь квадрата, сторона которого равна гипотенузе.

Ребята, я рассматривала два прямоугольных треугольника, в которых медианы - гипотенузы. катеты обозначала за х и у, а затем, соответственно, кое-где х/2, где-то у/2. Но в конечном итоге , когда нашла катеты, рассчитала гипотенузу в квадрате, но с ответом не сошлось. Помогите решить, пожалуйста.

Геометрия АутсАйдер_zn (263 баллов) 12 Март, 18 | 64 просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Один катет - х, другой - у.Из прямоугольных треугольников, у которых гипотенузами являются медианы следуют равенства на основании теоремы Пифагора:
$x^2+(\frac{y}{2})^{2}=49\\(\frac{x}{2})^{2}+y^2=121$
Решаем систему
$4x^2+y^2=196\\x^2+4y^2=484\\$
Первое ур-ие умнож. на (-4) и прибавим ко второму, получим:
$-15x^2=-300 , x^2=20 , x=\pm{2\sqrt{5}$
Выбираем положит. значение х из геометрического смысла.
$x=2\sqrt{5} , y^2=196-4x^2=196-4\cdot{20}=116\\y=\pm{2\sqrt{29}}\toy=2\sqrt{29}$
Гипотенуза треуг-ка:
$AB^{2}=x^2+y^2=20+116=136$
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе АВ ,равна
$S=AB^2=136$

NNNLLL54_zn (830k баллов) 12 Март, 18

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-12T13:39:30+0000

По формуле медиана к катету "a" равна
√2c^2+2b^2-a^2 = 22
медиана к катету "b"
√2a^2+2c^2-b^2 = 14
по теореме пифагора
a^2+b^2=c^2

решаем систему
{√2c^2+2b^2-a^2 = 22
{√2a^2+2c^2-b^2 = 14
{a^2+b^2=c^2

{2c^2+2b^2-a^2=484
{2a^2+2c^2-b^2=196
{a^2+b^2=c^2

{2(a^2+b^2)+2b^2-a^2=484
{2a^2+2(a^2+b^2)-b^2=196

{4b^2+a^2=484
{4a^2+b^2=196

решая систему получим
a=2√5
b=2√29

площадь квадрата значит равна квадрату гипотенузы , значит
S=(2√5)^2+(2√29)^2 =136