4x-3y=1 (1)- линейное диофантово уравнение (ax+bx=c).
1) НОД(4;3)=1 и с=1 делится на 1- значит уравнение имеет решения в целых числах.
2) Путем подбора находим частное решение, например х0=1 и у0=1 (1;1)
Значит, выполняется равенство 4*1-3*1=1 (2).
3) Для того, чтобы записать общее решение, нужно из уравнения (1) отнять равенство(2). Получаем:
4х-3у=1
4*1-3*1=1
---------------
4(х-1)-3(у-1)=0;
4(х-1)=3(у-1);
Отсюда х-1=3(у-1)/4. Из полученного равенства видно, что число (х-1) будет целым, если число (у-1) будет делиться на 4, т.е. у-1=4n, где n - любое целое число,
значит у=4n+1.
Аналогично определяем для х.
у-1=4(х-1)/3. Из полученного равенства видно, что число (у-1) будет целым, если число (х-1) будет делиться на 3, т.е. х-1=3n, где n - любое целое число, значит х=3n+1.
Значит, все целые решения данного уравнения (1) можно записать в виде:
, n∈Z.