Решить дифференциальное уравнение xy'-y=x^2cosx

$xy'-y=x^2\cos x\\ \\ x \frac{dy}{dx} -y-x^2\cos x=0\\ \\ xdy+(-y-x^2\cos x)dx=0$

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} =1\\ \\ \\ \frac{\partial N}{\partial y}= \frac{\partial(-y-x^2\cos x)}{\partial y} =-1$

Поскольку $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}\ne \frac{\partial N}{\partial y}$ , то дифференциальное уравнение не является в полных дифференциалах

Найдем для него интегрирующий множитель

$\displaystyle \phi(x)= \frac{ \frac{\partial N}{\partial y}- \frac{\partial M}{\partial x} }{M} = \frac{-1-1}{x} \\ \\ \\ \nu(x)=e^\big{\int- \frac{2}{x}dx }= \frac{1}{x^2}$

Умножим обе части уравнения на $\dfrac{1}{x^2}$ , получаем

$\displaystyle \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{x} - \frac{y}{x^2} =\cos x\\ \\ \\ \frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{x} +y\cdot \frac{d( \frac{1}{x}) }{dx} =\cos x\\ \\ \\ \frac{d}{dx}\bigg( \frac{y}{x}\bigg)=\cos x$

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

$\displaystyle \frac{y}{x} =\int\limits {\cos x} \, dx \\ \\ \\ \frac{y}{x} =\sin x+C\\ \\ \\ \boxed{y=x(\sin x+C)}$