Дан куб ABCDA1B1C1D1. M-Середина BB1. BB1=3.Найти угол между D1M и DC1.

Эту задачу можно решать двумя способами:
- 1) геометрическим,
- 2) векторным.

Для определения угла между скрещивающимися прямыми D1M и DC1 перенесём D1M точкой D1 в точку D (точка М станет точкой К).
Получим треугольник КC1D.
Находим длины сторон этого треугольника.
С1D = 3√2 (как диагональ квадрата грани куба).
КD = √(1,5²+(3√2)²) = √((9/4)+18) = √(81/4) = 9/2.
КС1 = √((3+1,5)²+3²) = √((81/4)+9) = √117/2.
Теперь по теореме косинусов находим искомый угол КDC1 (α):
$cos \alpha = \frac{4,5^2+(3 \sqrt{2})^2-( \frac{ \sqrt{117} }{2})^2 }{2*4,5*3 \sqrt{2} } =0,23570226.$
Угол КDC1 = arc cos 0,23570226 = 76,366978°.