А)
Признак скрещивающихся прямых:
Прямые скрещиваются, если одна из этих прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает данную плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.
AB лежит в плоскости (ABC), СD пересекает (ABC) в точке С (D не лежит в плоскости (ABC)). Отсюда прямые, содержащие AB и CD, скрещиваются.
б)
Для начала докажем, что MN ⊥ AB:
Так как AD=DC=AC=a, то AN - медиана равностороннего треугольника. Отсюда:
Аналогично из треугольника BCD и медианы BN:
Значит треугольник ANB - равнобедренный. NM - медиана, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание. Значит NM - высота треугольника ANB. Отсюда AB⊥NM
Аналогично доказывается, что
и MN - медиана равнобедренного треугольника CMD.
Значит MN⊥CD
Что и требовалось доказать.
в)
Мы уже пришли к тому, что
Также CD = a
г)
CM и DM - перпендикуляры к AB, лежащие в плоскостях (ABC) и (ABD) соответственно. Значит надо найти ∠DMC (его величина равна величине двугранного угла при AB)
Мы уже знаем длины сторон треугольника CMD, поэтому можно воспользоваться теоремой косинусов:
