Ничего задачка, можно нарушить самозапрет на публикации.
Вся идея состоит в том, что у треугольников общая описанная окружность, а площадь можно выразить через радиус окружности и углы.
S = a*b*sin(γ)/2 = 2*R*sin(α)*2*R*sin(β)*sin(γ)/2 = 2*R^2*sin(α)*sin(β)*sin(γ);
Пусть высоты CM BN и AP; (просто таким образом я определяюсь, на какой дуге лежит какая из точек M, P, N, по хорошему это все равно, как обозначить.)
Пусть ∠CAB = α = π/3; ∠CBA = β = π/4;
Тогда ∠ACM = ∠NBA = π/2 - π/3 = π/6;
А ∠APM = ∠ACM; ∠APN = ∠ABN; (высоты ABC являются биссектрисами треугольника MNP, также как для ортотреугольника)
То есть ∠NPM = 2*(π/2 - α) = π - 2*α = π/3;
Аналогично ∠NPM = 2*(π/2 - β) = π - 2*β = π/2; (получился прямоугольный треугольник)
Так как sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α), то очевидно, что Smnp/Sabc = 8*cos(α)*cos(β)*cos(α + β);
Если подставить, получится
8*cos(π/3)*cos(π/4)*cos(π/3 + π/4); в данном случае надо взять по абсолютной величине, разумеется (то есть не обращать внимания, что cos(7π/2) < 0; а просто отбросить знак)
8*(1/2)*(√2/2)*l(√2/4 - √6/4)l = √3 - 1;