Х^2+5x+2/x^2+5x+4 + x^2+5x+3/x^2+5x+9 = 1

Question

Дан 1 ответ

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-15T14:15:31+0000

$\mathtt{\frac{x^2+5x+2}{x^2+5x+4}+\frac{x^2+5x+3}{x^2+5x+9}=1}$

положим, что $\mathtt{x^2+5x+4=a}$ , где $\mathtt{a\neq0}$ (и, следовательно, $\mathtt{x\neq-1;-4}$ ), тогда наше уравнение примет вид $\mathtt{\frac{a-2}{a}+\frac{a-1}{a+5}=1}$

приводим к общему знаменателю дроби и решаем данное уравнение относительно нашей искуственно-введённой переменной:

$\mathtt{\frac{(a-2)(a+5)+a(a-1)}{a(a+5)}=1;~a^2+3a-10+a^2-a=a^2+5a;}\\\mathtt{a^2-3a-10=0\ \textless \ =\ \textgreater \ (a+2)(a-5)=0~\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{a=-2}\\\mathtt{a=5}\end{array}\right}$

итак, производим обратную замену:

$\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x^2+5x+4=-2}\\\mathtt{x^2+5x+4=5}\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x^2+5x+6=0}\\\mathtt{x^2+5x-1=0}\end{array}\right}\\\\\mathtt{1.~x^2+5x+6=0\ \textless \ =\ \textgreater \ (x+3)(x+2)=0\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_1=-3}\\\mathtt{x_2=-2}\end{array}\right}\\\\\mathtt{2.~x^2+5x-1=0;~D=5^2-4*(-1)=25+4=29;}\\\\\mathtt{x_{n,n+1}=\frac{-5б\sqrt{29}}{2}\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_3=\frac{-5-\sqrt{29}}{2}}\\\mathtt{x_4=\frac{-5+\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right}$

Ответ: $\mathtt{x=\frac{\sqrt{29}+5}{-2};-3;-2;\frac{\sqrt{29}-5}{2}}$ (корни представлены в порядке возрастания)