Пусть cos(x)+sin(x)=m .Не вычисляя отдельно sin(x) и cos(x) найдите:1)sin^3(x)+cos^3(x)...

Question

Пусть cos(x)+sin(x)=m .Не вычисляя отдельно sin(x) и cos(x) найдите:1)sin^3(x)+cos^3(x) 2)sin^4(x)+cos^4(x)

Answer 1

Формулы сокращенного умножения: сумма кубов и квадрат суммы))
sin³(x) + cos³(x) = (sin(x) + cos(x))*(sin²(x) - sin(x)*cos(x) + cos²(x)) =
= m*(1 - sin(x)*cos(x)) = m*(3 - m²) / 2  
да, еще основное тригонометрическое тождество...
sin(x) + cos(x) = m ---> (sin(x) + cos(x))² = m² --->
sin²(x) + 2sin(x)*cos(x) + cos²(x) = m² ---> 1 + 2sin(x)*cos(x) = m² 
2sin(x)*cos(x) = m² - 1 ---> sin(x)*cos(x) = (m² - 1) / 2 

sin⁴(x) + cos⁴(x) = sin⁴(x) + 2sin²(x)*cos²(x) - 2sin²(x)*cos²(x) + cos⁴(x) = 
= (sin²(x) + cos²(x))² - 2sin²(x)*cos²(x) = 1 - 2(m² - 1)² / 4 = (1 - m⁴ + 2m²) / 2