Докажите,что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1

Question

Докажите,что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1

Comments

Не люблю смотреть в интернете "решебническое" док-во. Прошу помощи у Вас!

---

Делятся в отношении 2:1, считая от вершины*

Answer 1

AA₁, BB₁, CC₁ - чевианы, проходящие через одну точку.

DE||AC

△DOE~△AOC => BO/OB₁ =DE/AC =DB/AC +BE/AC
△DC₁B~△AC₁C => DB/AC=BC₁/C₁A
△BA₁E~△AA₁C => BE/AC=BA₁/A₁C

BO/OB₁= BC₁/C₁A +BA₁/A₁C

Если BC₁=C₁A и BA₁=A₁C, то BO/OB₁ =2

Comments

_xtibh2012_ Если BC₁=C₁A и BA₁=A₁C, то BO/OB₁=BC₁/C₁A +BA₁/A₁C =1/1 +1/1 =2/1 (BB₁ делится точкой O в отношении 2:1).

---

_yugolovin_ Такие док-ва проще посмотреть в учебнике, как мне кажется. Я привел другую теорему, имеющую частным случаем соотношение для медиан. Это не замена док-ву из учебника.

---

Я специально прогулялся по интернету - всюду, где я смотрел, про пересечение медиан в одной точке доказывается, доказав сначала, что медиана делится другой медианой в отношении 2:1. Конечно, я умею доказывать пересечение медиан с помощью теоремы Чевы, но это не совсем школьный метод. Поэтому у меня к Вам предложение: я выкладываю задание с пересечением медиан, а Вы даете свое решение. Идет?

---

Да при чем тут? Это не школьный метод. Это просто теорема, имеющая отношение к заданному вопросу. "Факультатив".

---

Мда. Взаимопонимания не получилось. Считайте, что я Вам ничего не предлагал. Всех Вам благ

---

BO/OB1 = сумме пропорций двух сторон? Я разобрался в вашем решении,но этот момент не понял. То есть это такая формула? Она всегда действует да? Прошу прощения ,если для вас этот вопрос покажется глупым ,как и я,но я хочу разобраться. Заранее благодарен

---

На самом деле есть замечательная формула Ван-Обеля, которая это и утверждает

---

Ух ты! Я не знал... А вы не подскажите хорошую книгу или учебник,где есть эта теорема и задачи по ней? Буду очень признателен! Она только для треугольника с медианами применима ?

---

Она применима для любых отрезков AA_1, BB_1, CC_1, пересекающихся водной точке. Для медиан она сразу дает нужный ответ 2:1, для биссектрис "сумма прилежащих сторон к противолежащей" и т.д. Есть в книжке Понарина

---

Благодарствую!

Answer 2

:)))))))))))))))))))))))))))))))))

---