В правильной четырехугольной призме через диагональ основания и середину противолежащего...

$ABCDA_1B_1C_1D_1 -$ правильная четырехугольная призма
$BN=B_1N$
$BB_1=8$ см
$AB=2$ см
$S_{ANC} -$ ?

Правильная призма- это прямая призма,основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

1)Построение:
$AC,$ так как $AC$ ⊂ $(ABC)$ и $AC$ ⊂ $(ANC)$
$AN,$ так как $AN$ ⊂ $(AB_1B)$ и $AN$ ⊂ $(ANC)$
$NC,$ так как $NC$ ⊂ $(BB_1C)$ и $NC$ ⊂ $(ANC)$
Таким образом, Δ $ANC -$ искомое сечение
2) Найдём площадь этого сечения:
$ABCD-$ квадрат
$AC$ ∩ $BD=O$
$AB=BC=CD=AD=2$ см
$AC=BD$ ( как диагонали квадрата)
$d=a \sqrt{2}$
$BD=2 \sqrt{2}$ см
Δ $ANB=$ Δ $CNB$ ( по двум катетам) ⇒ $AN=NC$
Δ $ANC-$ равнобедренный
$NO$ ⊥ $AC$
$S_{зANC}= \frac{1}{2} AC*NO$
$BO=OD$
⇒ $NO-$ средняя линия Δ $BB_1D$
$B_1N=BN$ (по условию)

Δ $BB_1D-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем $B_1D:$
$B_1D= \sqrt{BB_1^2+BD^2} = \sqrt{8^2+(2 \sqrt{2})^2 } = \sqrt{64+8}= \sqrt{72}=6 \sqrt{2}$ см
$NO= \frac{1}{2} B_1D= \frac{1}{2} *6 \sqrt{2}=3 \sqrt{2}$ см

$S_{зANC}= \frac{1}{2} AC*NO= \frac{1}{2} *2 \sqrt{2} *3 \sqrt{2} =6$ cм²

Ответ: 6 см²