Пожалуйста объясните подробно как из первой системы преобразовали вторую, используя...

Question

Дан 1 ответ

SkipperF_zn · Answer 1 · 2018-05-17T23:06:03+0000

Формула косинуса двойного аргумента, которой мы будем пользоваться:
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$

Согласно основному тригонометрическому тождеству,
$\sin^2x=1-\cos^2x.$

Исходя из этого, преобразуем:

$\cos2x = \cos^2x-\sin^2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=\cos^2x-1+\cos^2x=$
$=2\cos^2x-1.$

Мы получили, что $\cos2x=2\cos^2x-1$ , откуда следует, что $\cos^2x= \dfrac{\cos2x+1}{2} .$

Мы выразили косинус двойного угла через косинус. Теперь выразим косинус двойного угла через синус, воспользовавшись тем же основным тригонометрическим тождеством (т.е. $\cos^2x=1-\sin^2x$ ) :

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-\sin^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x.$

Мы получили, что $\cos2x=1-2\sin^2x$ , откуда следует, что $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2} .$

В системе нам дано уравнение $\sin^2x+\cos^2y= \dfrac{1}{2} .$
Исходя из выше доказанных формул, заменим $\sin^2x$ на $\dfrac{1-\cos2x}{2}$ , а $\cos^2y$ на $\dfrac{\cos2y+1}{2}$ . Получим:

$\dfrac{1-\cos2x}{2}+\dfrac{\cos2y+1}{2}= \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1-\cos2x+\cos2y+1}{2} = \dfrac{1}{2} \\ \\ 1-\cos2x+\cos2y+1=1 \\ 1-\cos2x+\cos2y=0 \\ \cos2y-\cos2x=-1.$