106.
Обозначим катеты как a и b и гипотенузу как c. Тогда из теоремы Пифагора:
a² + b² = c²
И для изменённого треугольника тоже должно соблюдаться, раз он остался прямоугольным:
(a - 3)² + (b - 3)² = (c - 4)²
Раскрываем скобки:
a² - 6a + 9 + b² - 6b + 9 = c² - 8c + 16
Вычитаем из получившегося выражения выражение т. Пифагора для исходного треугольника:
- 6a + 9 - 6b + 9 = - 8c + 16
Преобразовываем:
18 - 6 (a + b) = 16 - 8c
2 - 6 (a + b) = - 8c
2 = 6 (a + b) - 8c
6 (a + b) - 2 = 8c
Вспоминаем, что по условию a+b=23:
8с = 6*23 - 2 = 138 - 2 = 136
с = 136/8 = 17
Теперь находим периметр исходного треугольника:
P = a + b + c = 23 + 17 = 40 см
111.
Пусть первый экскаватор за час выкопает долю x от котлована, а второй y. Тогда при работе вместе верно равенство:
(x + y) * 11 2/3 = 1 (единица подразумевает выкопанный целый котлован)
Или, иначе:
x + y = 1 / (11 2/3) = 1/ (35/3) = 3/35 - такую долю от котлована они вместе выкапывают за час. Отсюда можно например на будущее выразить y:
y = 3/35 - x
Теперь представим второй случай. Пусть первый экскаватор копал t1 часов, тогда:
x*t1 = 1/4
И второй доделал работу, на это у него ушло 22 - t1 часов:
y*(22 - t1) = 3/4
Вспомним выражение для у через х:
(3/35 - х)(22 - t1) = 3/4
Выразим из первого время t1:
t1 = 1/4 / x = 1/(4x)
И подставим во второе:
(3/35 - х)(22 - 1/(4х)) = 3/4
Попробуем раскрыть скобки:
66/35 - 3/(140х) - 22х + 1/4 = 3/4
Переносим всё вправо и домножаем на х:
0 = 22х² + (3/4 - 66/35 - 1/4)х + 3/140
22х² + (-97/70)х+ 3/140 = 0
22х² - (97/70)х+ 3/140 = 0
И вот это ужасающее квадратное уравнение мы попробуем решить:
D = (97/70)² - 4*22*3/140 = 9409/4900 - 264/140 = 9409/4900 - 132/70 = (9409 - 132*70)/4900 = (9409 - 9240)/4900 = 169/4900 = (13/70)²
х = ((97/70) +- (13/70)) / (2*22) = { (110/70)/44; (84/70)/44} = { (11/7)/44; (6/5)/44} = {1/28; 3/110}
Это производительности первого экскаватора. Им соответствуют такие производительности второго:
y = 3/35 - x = {(3/35 - 1/28); (3/35 - 3/110)} = {((3*4-5)/140); ((3*110 - 3*35)/3850)} = {7/140; 225/3850} = {1/20; 9/154}
Очень громоздко, но если ошибка и есть, то в арифметике. Итак, первая пара х = 1/28, у = 1/20. Это значит, что первый может вскопать за 28 часов, а второй за 20, подходит.
Вторая пара х = 3/110, у = 9/154. Значит х потребуется 110/3 часов (36 ч 40 мин), а второму 154/9 (чуть более 17). Вроде как оба подходят, и не играет условие про 8 ч. Видимо есть ошибка, но чисто в расчётах, ход решения такой.