Упростите выражение при

Question 1

Упростите выражение $\frac{2b \sqrt{ x^{2} -1} }{x- \sqrt{ x^{2} -1} }$ при

$x= \frac{1}{2} ( \sqrt{ \frac{a}{b} }+ \sqrt{ \frac{b}{a} } )$

Question 2

1) Упростим первое выражение.

$\frac{2b \sqrt{ x^{2} -1} }{x- \sqrt{ x^{2} -1} } = \frac{(2b \sqrt{ x^{2} -1} )*(x+ \sqrt{ x^{2} -1} )}{(x- \sqrt{ x^{2} -1} )(x+ \sqrt{ x^{2} -1} )} = \frac{2bx \sqrt{ x^{2} -1}+2b ( \sqrt{ x^{2} -1} )^{2} }{ x^{2} -( x^{2} -1)}=$ $\frac{2bx \sqrt{ x^{2} -1}+2b( x^{2} -1) }{1}=2b( x^{2} +x \sqrt{ x^{2} -1}-1)$

2) Упростим х

$x= \frac{1}{2}( \sqrt{ \frac{a}{b} }+ \sqrt{ \frac{b}{a} } ) = \frac{1}{2}( \frac{ \sqrt{ a^{2} }+ \sqrt{ b^{2} } }{ \sqrt{ab} } ) = \frac{a+b}{2 \sqrt{ab} }$
$x= \frac{a+b}{2 \sqrt{ab} }$

Упростим отдельно выражение (х²-1).
$x^{2} -1=( \frac{a+b}{2 \sqrt{ab} } )^{2}-1 = \frac{ a^{2}+2ab+ b^{2} }{4ab}-1= \frac{ a^{2} +2ab+b^{2} -4ab}{4ab}= \frac{a^{2} -2ab+ b^{2} }{4ab} =$ $\frac{(a-b)^{2} }{4ab}$

3) А теперь в первое выражение подставим значение х и (х²-1).
$2b( ( \frac{a+b}{2 \sqrt{ab} } )^{2} +\frac{a+b}{2 \sqrt{ab}}* \sqrt{ \frac{ (a-b)^{2} }{4ab} } -1)=2b( \frac{ (a+b)^{2} }{4ab}+ \frac{(a+b)(a-b)}{2 \sqrt{ab} *2 \sqrt{ab} } -1)=$ $2b( \frac{(a+b)^{2} }{4ab}+ \frac{ a^{2} - b^{2} }{4ab} -1 )=2b* \frac{ a^{2} +2ab+ b^{2}+ a^{2} - b^{2} -4ab }{4ab} =2b* \frac{2a^{2} -2ab}{4ab} =$ $2b* \frac{2a(a-b)}{4ab}= \frac{4ab(a-b)}{4ab}=a-b$