15 баллов. Две окружности, имеющие радиусы 4 и 12 см, внешне касаются, AB-их общая...

Question

15 баллов. Две окружности, имеющие радиусы 4 и 12 см, внешне касаются, AB-их общая касательная. Найдите площадь фигуры, заключённой между этими окружностями и их общей касательной AB(A и B - точки касания) Если можно то с рисунком и подробным объяснением.

Answer 1

АСДК - трапеция, основания АС=12 см и ДК=4 см
АВ = 12-4 = 8 см
АК = 12+4 = 16 см
По Пифагору
ВК² = АК²-АВ² = 16²-8² = 256-64 = 3*64
ВК = 8√3 см
∠ВАК = arccos(АВ/АК) = arccos(1/2) = 60°
∠ВКА = 90 - ∠ВАК = 30°
∠ДКА = ∠ВКА + 90 = 120°
Полная площадь трапеции
S(ACDK) = 1/2(AC+DK)*BK = 1/2(12+4)*8√3 = 64√3 см²
Площадь сектора большого круга (серая штриховка)
S₁₂ = πR²/360*α = π*12²*60/360 = π*12*12/6 = 24π см²
Площадь сектора малого круга (зелёная штриховка)
S₄ = πR²/360*α = π*4²*120/360 = π*16/3 = 16π/3 см²
И площадь странной фигуры около касательной
S =  S(ACDK) - S₁₂ - S₄ =  64√3 -  24π -  16π/3 см²
S =  64√3 -  56π/3 см²

---