Найти частное решение дифференциального уравнения

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

4.9. $x^2y' + xy +1 = 0$
Перед нами линейное неоднородное уравнение первого порядка.
То, что уравнение неоднородное, проверяется очень просто. Надо вместо х поставить $\lambda x$ , а вместо у поставить $\lambda y$ , саму производную не трогаем, где $\lambda$ некий параметр. Если его удастся сократить, то уравнение однородное.
$(\lambda x)^2y' + (\lambda x)(\lambda y) +1 = 0 \\ \\ \lambda^ 2 x^2y' + \lambda^2 xy + 1 = 0$
Сократить $\lambda$ мешает единица. Значит, уравнение неоднородное. Перепишем его в таком виде, разделив обе части на х²:
$y' + \frac{y}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \\ \\ y' + \frac{y}{x} = - \frac{1}{x^2}$

Самое, что ни есть, линейное неоднородное уравнение первого порядка. Такое уравнение можно решить одной заменой:
$y = uv$ , где u и v - некоторые неизвестные функции от икса.
По правилу дифференцирования сложных функций:
$y' = u'v + uv'$

Подставляем в исходное уравнение:
$y' + \frac{y}{x} = - \frac{1}{x^2} \\ \\ u'v + uv' + \frac{uv}{x} = -\frac{1}{x^2} \\ \\ u'v + u(v' + \frac{v}{x}) = -\frac{1}{x^2}$

Составляем систему. То, что в скобках приравниваем нулю, оставшийся член приравниваем правой части:
$v' + \frac{v}{x} = 0 \\ \\ u'v = -\frac{1}{x^2}$

Решаем по порядку. Из первого уравнения находим v.
$v' = -\frac{v}{x} \\ \\ \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \\ \\ \frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{1}{v}} \, dv = -\int\limits {\frac{1}{x}} \, dx \\ \\ ln|v| = - ln|x| \\ \\ ln|v| = ln|x|^{-1} = ln \frac{1}{|x|} \\ \\ v = \frac{1}{x}$

Полученное v подставляем во второе уравнение.
$u'v = -\frac{1}{x^2} \\ \\ \frac{du}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \\ \\ du = - \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {} \, du = -\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ u = -ln|x|+C$

Обе неизвестные функции u и v нашли, записываем решение:
$y = uv = (-ln|x|+C) \frac{1}{x}$

Находим частное решение при y(1) = 0
$y(1) = (-ln|1|+C) \frac{1}{1} = (0 + C) = 0 \\ C = 0$

И последнее, записываем ответ:
$y = (-ln|x|+0) \frac{1}{x} = -\frac{1}{x} ln|x|$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 28 Май, 18