Дифференциальное уравнение y''-y'=x+1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y''-y'=0$

Осуществив замену $y=e^{kx}$ , получим характеристическое уравнение

$k^2-k=0,~~~ k (k-1)=0,~~~~ k_1=0;~~~~ k_2=1$

уо.о. = $C_1+C_2e^x$ - общее решение однородного уравнения

Рассмотрим $f(x)=x+1$

$P_n(x)=x+1~~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~~ \alpha =0$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания что n=1, частное решение будем искать в виде:

yч.н. = x*(Ax+B) = Ax² + Bx

Найдем первые две производные

y' = 2Ax+B
y'' = 2A

И подставим это в исходное уравнение

$2A-2Ax-B=x+1$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$\displaystyle \left \{ {{-2A=1} \atop {2A-B=1}} \right. ~~\Rightarrow~~~~ \left \{ {{A=-0.5} \atop {B=-2}} \right.$

Частное решение: уч.н. = $-0.5x^2-2x$

Общее решение соответствующего неоднородного уравнения

уо.н. = уо.о. + уч.н. = $C_1+C_2e^{x}-0.5x^2-2x$