Надо найти наибольшее целочисленное решение: log 7 (6x-9)< log 7 (2x+3)

Найдем область допустимых значений.
$\displaystyle \left \{ {{6x-9\ \textgreater \ 0} \atop {2x+3\ \textgreater \ 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x\ \textgreater \ 1.5} \atop {x\ \textgreater \ -1.5}} \right. ~~\Rightarrow~~ \boxed{x\ \textgreater \ 1.5}$

Поскольку основание 7>1, то знак неравенства не меняется.
$6x-9\ \textless \ 2x+3\\ 6x-2x\ \textless \ 3+9\\ 4x\ \textless \ 12\\ x\ \textless \ 3$

И с учетом ОДЗ, решением неравенства есть промежуток $x \in (1.5;3)$ , где х = 2 - наибольшее целочисленное решение