Четырехугольник ABCD вписан в окружность. АВ = 6 см, ВС = BD=8 см, BD - биссектриса угла...

Question 1

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. АВ = 6 см, ВС = BD=8 см, BD - биссектриса угла АВС. Найти диагональ АС.

Question 2

Если BD — биссектриса угла ∠ABC, т.е. углы ∠ABD и ∠DBC равны, то равны хорды AD и DC, на которые опираются эти углы.

Обозначим ∠ABD = ∠DBC = α, AD = CD = a. Записываем выражения по теореме косинусов для треугольников ΔBCD и ΔABD:
$\begin{array}{cl} \triangle BCD:&CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos\angle DBC\\ & a^2=8^2+8^2-2\cdot 8^2\cos\alpha\\ \triangle ABD:&AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cos\angle ABD\\ & a^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos\alpha \end{array}$

Приравниваем выражения для $a^2$ :
$8^2+8^2-2\cdot 8^2\cos\alpha=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos\alpha\\ 2\cdot 8\cdot (8-6)\cos\alpha=8^2-6^2\\ \cos\alpha=\dfrac{6+8}{2\cdot8}=\dfrac78$

Тогда
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\dfrac{49}{64}-1=\dfrac{17}{32}$

Длину AC находим по теореме косинусов для треугольника ABC.
$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC\\=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos2\alpha=49$

AC = 7

Question 3

Я всегда удивляюсь, как у людей хватает воображения, чтобы решать подобные задачи. Начать хотя бы с того, что в школе задач про биссектрисы вообще почти нет. И как надо вывернуть мозги, чтобы в задаче про 4-угольник вдруг вспомнить про хорду?

Question 4

Глянул, что решили, и забросил.... Но попросили решить без тригонометрии. Если кому интересно - вот здесь. https://znanija.com/task/27273995

Question 5

Очень жду ответа от Nelle, может она объяснит, как додумалась до такого решения?

Question 6

Я обычно стараюсь строить рисунки по условию (тут, например, всё в масштабе, но углы верные). Так как по утрам не очень хочется думать, расчехляю пушку и теоремами косинусов/синусов по воробьям, даже если они и не нужны, так хоть рисунок правдивый будет. А потом, раз уж угол найден, что ж ему, пропадать, что ли.

Question 7

:)

Question 8

Жаль, что кто-то удалил второе решение, там без тригонометрии было, как раз для 7 класса.

Question 9

А я вот совсем не умею плоскую геометрию решать. Со стереометрией почему-то легче.