Дана правильная треугольная пирамида,
площадь основания So = 27√3 см²,
площадь полной поверхности S = 108√3 см².
Из формулы площади основания находим сторону основания:
So = а²√3/4, отсюда:
а = √(4So/√3) = √(4*27√3/√3) = 6√3 см.
Высота основания h = a√3/2 = (6√3)*(√3/2) = 9 см.
Периметр основания Р = 3а = 18√3 см.
Площадь боковой поверхности Sбок = S - So = 108√3 - 27√3 = 81√3 см².
Из формулы площади боковой поверхности находим апофему:
Sбок = (1/2)РА, отсюда А = 2Sбок/P = 2*81√3/(18√3) = 9 см.
Проекция апофемы на основание равна h/3 = 9/3 = 3 см.
Теперь можно получить ответ - высота пирамиды Н равна:
Н = √(A² - (h/3)²) = √(81 - 9) = √72 = 6√2 см.