Определения: Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
1. Проведем В1М1 параллельно ВМ. Тогда
М1С=√(АМ1²+АС²) = √(3²+2²) =√13.
В1С=√(ВВ1²+ВС²) = √(2²+2²) =2√2.
М1В1=МВ=√(АВ²+АМ²) = √(2²+1²) =√5.
Теперь по теореме косинусов в треугольнике М1В1С найдем
угол М12В1С, который является искомым по определению.
Cosα=(M1В1²+В1С²-М1С²)/(2*М1В1*В1С) или
Cosα=(5+8-13)/(2*√5*2√2)=0/(4√10) =0.
Или по Пифагору: М1В1²+В1С²=М1С² => 5+8=13 . 13=13.
Следовательно, угол между прямыми ВМ и В1С равен 90°,
что и требовалось доказать.
2. Плоскость М1В1С параллельна прямой МВ, так как прямая М1В1, лежащая в этой плоскости, параллельна прямой МВ по построению.
Проведем плоскость ТКС, перпендикулярно плоскости АА1В1С, тогда
расстояние между прямой МВ и плоскостью М1В1С - перпендикуляр РН
на плоскость М1В1С.
Высота основания (правильного треугольника) СТ=(√3/2)*а=√3.
РТ - средняя линия ΔМАВ=0,5. РК=ММ1=2. КТ=2,5.
По Пифагору КС=√(КТ²+ТС²)=√(6,25+3)=√9,25.
Sin(TKC)=TC/KC = √(3/9,25) ≈ 0,569.
Тогда РН=Sin(TKC)*КР =2*0,569 ≈1,14.
Метод координат:
Привяжем систему координат к вершине В. Тогда
даны точки: М1(0;2;3)б В1(0;0;2), С(√3;1;0)
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|x - xМ1 xB1 - xМ1 xC - xМ1|
|y - yМ1 yB1 - yМ1 yC - yМ1| = 0.
|z - zМ1 zB1 - zМ1 zC - zМ1|
Подставим данные трех наших точек:
|x-0 0-0 √3-0| |x-0 0 √3|
|y-2 0-2 1-2| = 0. Или |y-2 -2 -1| = 0.
|z-3 2-3 0-3| |z-3 -1 -3|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
|-2 -1| | 0 √3| | 0 √3|
х*|-1 -3| - (y-2)*|-1 -3| + (z-3)*|-2 -1| =0.
5х-(y-2)(√3)+(z-3)(2√3)=0.
5х-√3y+2√3+2√3z-6√3=0.
5х-√3y+2√3z-4√3=0 - уравнение в общем виде: Аx+By+Cz+D=0.
В уравнении коэффициенты А=5, В=-√3, С=2√3, D=-4√3.
Теперь найдем расстояние от точки В (или М) до плоскости по формуле:
L(D;α) = |A*Xв+B*Yв+C*Zв+D|/√(A²+B²+C²). Подставляя известные нам значения имеем для точки В:
L(D;α) =|-4√3|/√(25+3+12)=4√3/2√10 = 2√0,3 или ≈ 2*0,548=1,096.
Ответ: искомое расстояние равно 1,1.
Проверим для точки М(0;2;1):
L(D;α) =|5*0+2(-√3)+2√3-4√3|/√(25+3+12)=4√3/2√10 = 2√0,3 или L(D;α)≈2*0,548=1,096.
Ответ: искомое расстояние равно 1,1.
