Помогите, 100 балов!!

См. рисунок.

Применим теорему косинусов.

$AB^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B+BC^2=AC^2\\6^2-12 BC \cdot \cos 120^{\circ} +BC^2=76 \\ \cos 120^{\circ}=- \cos 60 ^{\circ} = - 1/2\\ 6BC+BC^2=76-36=40 \\BC^2+6BC-40=0$

Решим это квадратное уравнение (для удобства BC заменим на икс):
$x^2+6x-40=0\\D=6^2-4\cdot (-40)=36+160=196\\ \sqrt{D}=14\\x_1 = \frac{-6+14}{2} =4\\x_2 = \frac{-6-14}{2} =-10$

Второй корень не подходит, поскольку длина — величина положительная.

Ответ: 4 см.