4) Поместим куб в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.
Проведём диагонали граней: В1Д1 и АД1. Последняя параллельна заданной прямой ВС1, поэтому плоскость АВ1Д1 параллельна ВС1.
Определим координаты точек плоскости:
А(3; 0; 0), В1(0; 0; 3) и Д1(3; 3; 3).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.Тогда уравнение плоскости через эти точки определяется формулой:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получим:
-9x + 9y - 9z + 27 = 0
, или, сократив на -9:
x - y+ z - 3 = 0
.
Возьмём точку В(0; 0; 0) с координатами (xo; yo; zo) и определим расстояние до плоскости АВ1Д1, которое и будет равным расстоянию между заданными прямыми.
L = |axo+byo+czo+d|/√(a²+b²+c²) = |0 + 0 + 0 -3|/√(1 + 1 + 1) = 3/√3 = √3.
5) Эту задачу можно решить геометрически методом, путём переноса отрезка МВ точкой В в середину высоты пирамиды.
Примем длину рёбер пирамиды за 1.
Проекция МВ на основание равна √((3/4)² + (1/4)²) = √10/4.
Высота пирамиды Н = √2/2 (угол между рёбрами в вершине равен 90°), высота точки М равна √2/4.
Тогда искомый угол α равен:
α = arc tg((√10/4)/(√2/4)) = arc tg √5 = 1,150261992
радиан = 65,90515745°.