основою похилої призми abca1b1c1 є рівностороній трикутник abc зі стороною а. вершина A1 призми рівновіддалена від вершин трикутника ABC , а кут мiж ребром aa1 і площиною основи дорівнює а. знайдіть обєм призми

Question

основою похилої призми abca1b1c1 є рівностороній трикутник abc зі стороною а. вершина a1  рівновіддалена від вершин трикутника аbc а кут мiж ребром aa1 і площиною основи дорівнює а. знайдіть обєм призми

Answer 1

A₁A=A₁B=A₁C и AB=BC=CA по условию ⇒ A₁ABC правильная треугольная пирамида и ее вершина проецируется в центр O (O€AM) правильного треугольника ABC,  AM  - медиана ABC. AO=2/3*a*sqrt(3)/2. Если угол между  A₁A и ABC b (в условии а), то A₁O/AO=tgb ⇒ A₁O=AO*tgb. Заметим, что высота пирамиды A₁O также является высотой призмы. Отсюда V_призмы=S_ABC*A₁O=a²sqrt(3)/4*2/3*a*sqrt(3)/2*tgb=3/8a³tgb