Находим векторы по координатам точек:
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {4 - 1; 4 - 2; 1 - 3} = {3; 2; -2}
AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {4 - 1; -2 - 2; 8 - 3} = {3; -4; 5}
AD = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} = {6 - 1; 7 - 2; 7 - 3} = {5; 5; 4}
.
Объём равен (1/6) смешанного произведения векторов.
V = (1/6)|AB · [AC × AD]|
.
= 3·(-4)·4 + 2·5·5 + (-2)·3·5 - (-2)·(-4)·5 - 2·3·4 - 3·5·5 = -48 + 50 - 30 - 40 - 24 - 75 = -167
Отсюда объем пирамиды равен:
V = (1/6)· 167 = 167/ 6.