Помогите, пожалуйста, с пределами.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}$

Для вычисления предела будем использовать равенство $\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{1}{n}=0$ , которое обобщается на любую натуральную степень знаменателя: $\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{1}{n^k}=0$ .

Преобразуем выражение под знаком предела (отдельно, чтобы было покороче, но можно переписывать цепочку и со знаком предела:

$\dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}=\\\\=\dfrac{\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}\right)\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n(n^4+2)}\right)}{2\sqrt{n}\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n(n^4+2)}\right)}=$

$= \dfrac{\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}\right)^2-\left(\sqrt{n(n^4+2)}\right)^2}{2\left(\sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n^2(n^4+2)}\right)}=\\\\= \dfrac{(n^3+1)(n^2+3)-n(n^4+2)}{2\left(\sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n^2(n^4+2)}\right)}=\\\\= \dfrac{n^5+3n^3+n^2+3-n^5-2n}{2\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=\\\\= \dfrac{3n^3+n^2-2n+3}{2\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=$

$=\dfrac{\dfrac{1}{n^3} \left(3n^3+n^2-2n+3\right)}{2\cdot\dfrac{1}{n^3}\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=\\\\=\dfrac{\dfrac{3n^3}{n^3}+\dfrac{n^2}{n^3}-\dfrac{2n}{n^3}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{\dfrac{n^6}{n^6}+\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{n^3}{n^6}+\dfrac{3n}{n^6}}+\sqrt{\dfrac{n^6}{n^6}+\dfrac{2n^2}{n^6}}\right)}=$

$=\dfrac{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^5}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n^4}}\right)}$

Вернемся к пределу:

$\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}=\\=\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^5}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n^4}}\right)}=\\=\dfrac{3+0-0+0}{2\left(\sqrt{1+0+0+0}+\sqrt{1+0}\right)}=\dfrac{3}{2\left(\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)}=\dfrac{3}{2\left(1+1\right)}=\dfrac{3}{4}$

$\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}$

Будет использоваться второй замечательный предел $\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

$\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}=\dfrac{(n^2+5n+1)-5n-1-3n+6}{n^2+5n+1}=1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}$

Предел примет вид:

$\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}=\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}=\\\\=\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\right)^{\dfrac{n^2+5n+1}{-8n+5}\cdot\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\cdot\dfrac{n}{2} }=\\\\=\exp\left({\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\cdot\dfrac{n}{2}}\right)=\exp\left({\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-8n^2+5n}{n^2+5n+1}}\right)=$

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cexp%5Cleft%28%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%5Cdfrac%7B-%5Cdfrac%7B8n%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7B5n%7D%7Bn%5E2%7D%7D%7B%5Cdfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7B5n%7D%7Bn%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%7D%7D%5Cright%29%3D%5Cexp%5Cleft%28%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%5Cdfrac%7B-8%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7Bn%7D%7D%7B1%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7Bn%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%7D%7D%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cexp%5Cleft%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B-8%2B0%7D%7B1%2B0%2B0%7D%5Cright%29%3D%5Cexp%5Cleft%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28-8%29%5Cright%29%3D%5Cexp%5Cleft%28-4%5Cright%29%3De%5E%7B-4%7D" id="TexFormula13" title="=\exp\left({\dfrac{1}{2}

Artem112_zn (271k баллов) 19 Май, 20