2. Искомые точки - точки пересечения прямой, перпендикулярной прямой АВ, проходящей через середину отрезка АВ, с осями координат. Тогда все точки на этом перпендикуляре будут равноудалены от концов отрезка АВ, что и требуется по условию. Найдем координаты середины О отрезка АВ:
Xo=(Xa+Xb)/2 = 12/2= 6.
Yo=(Ya+Yb)/2 = -2/2 =-1.
Уравнение прямой АВ: (X-Xa)|(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya) =>
4X-16=4Y+12 => Y=X-7. (уравнение с угловым коэффициентом k=1). Условие перпендикулярности прямых: k1 = -1/k.
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку О(6;-1): Y-Yo =k1(X-Xo) или в нашем случае:
Y+1=-1(X-6) => Y= -X+5.
Найдем координаты искомых точек: при Х=0 имеем Y=5.
При Y=0 имеем Х=5.
Искомые точки: С(0;5) и D(5;0).
3. Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Координаты середины отрезка - полусумма соответствующих координат его конца и начала. Модуль вектора (его длина) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Тогда
Вектор АВ{2;3} Модуль вектора |AB|=√(4+9) = √13.
Вектор BC{3;-2} Модуль вектора |BC|= √(9+4) = √13.
Вектор АC{5;1} Модуль вектора |AC|=√(25+1) = √26.
АВ=ВС, следовательно, треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, что и требовалось доказать.
Координаты середины отрезка т.Н(-1,5;1,5).
Координаты вектора ВН: ВН(0,5;-2,5) (высота треугольника)
Длина отрезка ВН: |BH|=√(0,25+6,25) = √6,5. (высота треугольника)
Площадь треугольника АВС:
Sabc=(1/2)*AC*BH = (1/2)*√(26*6,5) = 13/2 =6,5 ед².
