Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 5. Если при этом сторона AB равна...

Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 5. Если при этом сторона AB равна стороне вписанного в эту окружность правильного треугольника, сторона BC-стороне вписанного в эту окружность правильного 9-угольника, а сторона CD-стороне вписанного в эту окружность правильного 18-угольника, то длина стороны AD равна?...

Answer 1

Радиус окружности описанной вокруг многоугольника определяется по формуле

R=a/(2*sin(360/2*n)))

Откуда

а=2R*sin(360/2n)

Для правильного треугольника

a=2*5*sin(60°)=10*sin(60°)=5*sqrt(3)

Для правильного 9-угольника

a=2*5*sin(20°)=10*sin(20°)

 

Для правильного 18-угольника

a=2*5*sin(10°)=10*sin(10°)

то есть

AB=5*sqrt(3)

BC=10*sin(20°)

CD=10*sin(10°)

 

Вокруг четырехугольника можно описать окружность если сумы противоположных сторон равны, то есть

AB+CD=BC+AD

5*sqrt(3)+10*sin(10°)=10*sin(20°)+AD

AD= 5*sqrt(3)+10*sin(10°)-10*sin(20°)=

=5*sqrt(3)+10*(sin(10°)-sin(20°))