1) при каких значениях параметра р уравнение х²-2(p-1)x+4р²=0 имеет не более одного корня?
Если дискриминант D≤0 , то уравнение имеет не более одного решения.
D = 4(p-1)² - 16р² = 4p² - 8p + 4 - 16р² = -12р² - 8p + 4
-12р² - 8p + 4 ≤ 0
или
-3р² - 2p + 1 ≤ 0 (А)
Найдём корни уравнения
-3р² - 2p + 1 = 0
D = 4+12 = 16
p₁ = (2 + 4):(-6) = -1
p₂ = (2 - 4):(-6) = 1/3
Решение неравенства (А) таково: х∈(-∞, -1] и [1/3, +∞)
Это и будет ответом.
2) при каких значениях параметра р уравнение х² - (p+3)х +16=0 имеет хотя бы один корень?
Если дискриминант D≥0 , то уравнение имеет хотя бы один корень.
D = (p+3)² - 64 = p² +6p + 9 - 64 = р² + 6p - 55
р² + 6p - 55 ≥ 0 (В)
Найдём корни уравнения
р² + 6p - 55 = 0
D = 36+220 = 256
p₁ = (-6 + 16):2 = 5
p₂ = (-6 - 16):2 = -11
Решение неравенства (В) таково: х∈(-∞, -11] и [5, +∞)
Это и будет ответом.