Таблица точек
xy
-3.0-18
-2.5-8.1
-2.0-2
-1.51.1
-1.02
-0.51.4
00
0.5-1.4
1.0-2
1.5-1.1
2.02
2.58.1
3.018
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x³-3x.
у =0³-3*0 = 0,
Результат: y=0. Точка: (0; 0.
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
x³-3x = 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x (х²-3) = 0,
х1 = 0, х2,3 = +-√3.
Результат: y=0. Точки: (0; -√3), (0; 0) и (0; √3).
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y'=3x² – 3 = 0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
3(х²-1) = 0,
х1 = 1, х2 = -1.
Результат: y’=0. Точки: (-1; 2) и (1; -2). Это критические точки.
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем значения производной между критическими точками:
x =-2-10 1 2
y' =90-3 0 9.
•Минимум функции в точке: х = -1,
•Максимум функции в точке: х = 1.
•Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (1; ∞)
•Убывает на промежутке: (-1; 1)
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y'' = 6x = 0
Отсюда точка перегиба х = 0
Точка: (0; 0).
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Находим знаки второй производной на промежутках (-∞; 1) и (1; +∞).
х = -1 0 1
y'' = -6 0 6.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
•Вогнутая на промежутках: (0; ∞),
•Выпуклая на промежутках: (-∞; 0)
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:
•lim x3-3x, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
•lim x3-3x, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:
•lim x3-3x/x, x->+oo = oo, значит, наклонной асимптоты справа не существует.
•lim x3-3x/x, x->-oo = oo, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
•(-x3)-3(-x) = -x3+3x нет,
•(-x3)-3(-x) = -(x3-3x) – да, значит, функция является нечётной.
