4. 1 способ
Т.к. отношение дуг СД и АМВ равно 1/3, то дуга АМВ равна 50°*3=150°
Вписанный угол АСВ равен половине дуги, на которую опирается 150°/2=75°,
вписанный угол САД равен половине дуги ДС, на которую опирается. 50°/2=25°
Угол АСВ - внешний угол при вершине С треугольника КСА, поэтому равен сумме двух внутренних углов К и А, не смежных с ним. Т.к. ∠А=25°, то на долю искомого угла АКВ =∠АКС приходится 75°-25°=50°
Ответ 50°
2 способ.
Найдем соответствующие вписанные углы, (∠СВД=∠СКД=25°, как опирающиеся на соотв. одну и ту же дугу СД, дуга АМВ равна 150°) как в первом способе.
Пусть хорды АС и ДВ пересекаются в точке О, тогда
∠ВОА=∠ДОС=(50°+150°)/2=100°
∠КСО=∠КДО=180°-75°=105°
Тогда в четырехугольнике КСОД искомый угол К равен 360°-(105°+105°+100°)=360°-310°=50°
Ответ 50°
5. ∠AQВ=180°-0,5∠АОВ
0,5∠АОВ=180°-112°=68°
∠АОВ=68°/0,5=136°
Ответ 136°