ЭТО ОЧЕНЬ СРОЧНО, МОГУ ЖДАТЬ СКОЛЬКО УГОДНО (в течении 45 минут) ЛИШЬ БЫ БЫЛ ОТВЕТ....

Відповідь:

6. -10, 1; 7. -(√3-√47)/4

Пояснення:

6. Кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх членів. Зважаючи на це, складемо рівняння і розв'яжемо його:

$x + 2 = \sqrt{(3x - 2)(x + 8)} \\ {(x + 2)}^{2} = (3x - 2)(x + 8) \\ {x}^{2} + 4x + 4 = 3 {x}^{2} + 24x - 2x - 16 \\ 2 {x}^{2} + 18x - 20 = 0 \\ {x}^{2} + 9x - 10 = 0$

За теоремою Вієта

{ х1+х2= -b= -9

{ x1x2= c= -10

x1= -10, x²= 1

Обидва корені належать ОДЗ, отже, маємо дві геометричні прогресії:

1) 3×(-10)-2= -32, -10+2= -8, -10+8= -2 (d= 1/4)

2) 3×1-2= 1, 1+2= 3, 1+8= 9 (d= 3)

$\frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{7} } + \frac{1}{ \sqrt{7} + \sqrt{11} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{4 3 } + \sqrt{47} } = \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{7} }{( \sqrt{3} + \sqrt{7} )( \sqrt{3} - \sqrt{7} )} + \frac{ \sqrt{7} - \sqrt{11} }{( \sqrt{7} + \sqrt{11} )( \sqrt{7} - \sqrt{11} ) } + ... + \frac{ \sqrt{43} - \sqrt{47} }{( \sqrt{43} + \sqrt{47})( \sqrt{43} - \sqrt{47} ) } = \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{7} }{3 - 7} + \frac{ \sqrt{7} - \sqrt{11} }{7 - 11} + ...+ \frac{ \sqrt{43} - \sqrt{47} }{43 - 47} = - \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{7} + \sqrt{7} - \sqrt{11} + \sqrt{11}- ... - \sqrt{43} + \sqrt{43} - \sqrt{47} }{4} = - \frac{ \sqrt{3} - \sqrt{47} }{4}$