Решите уравнение

Question 1

Решите уравнение $\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x-1} = \sqrt[6]{ x^{2} - 1}$

Question 2

Обозначив $\sqrt[6]{x+1}=u,\quad\sqrt[6]{x-1}=v$ , получаем систему уравнений
u^2 - v^2 = uv
u^6 - v^6 = 2

u^6 - v^6 = (u^2 - v^2)(u^4 + u^2 v^2 + v^4) = uv((u^2 - v^2)^2 + 3u^2 v^2) = 4u^3 v^3 = 2
(uv)^3 = 1/2

Теперь можно вернуться обратно к иксам.
$\sqrt{x^2-1}=\dfrac12\\ x^2-1=\dfrac14\\ x^2=\dfrac54\\ x=\pm\dfrac{\sqrt5}{2}$

Остается отметить мухлёж - подставив вместо x отрицательный корень, обнаружим, что корень 6-ой степени не существует. Но (подумайте, почему) это неважно.

Ответ. +-sqrt(5)/2.

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-03-19T07:13:36+0000

Обозначив $\sqrt[6]{x+1}=u,\quad\sqrt[6]{x-1}=v$ , получаем систему уравнений
u^2 - v^2 = uv
u^6 - v^6 = 2

u^6 - v^6 = (u^2 - v^2)(u^4 + u^2 v^2 + v^4) = uv((u^2 - v^2)^2 + 3u^2 v^2) = 4u^3 v^3 = 2
(uv)^3 = 1/2

Теперь можно вернуться обратно к иксам.
$\sqrt{x^2-1}=\dfrac12\\ x^2-1=\dfrac14\\ x^2=\dfrac54\\ x=\pm\dfrac{\sqrt5}{2}$

Остается отметить мухлёж - подставив вместо x отрицательный корень, обнаружим, что корень 6-ой степени не существует. Но (подумайте, почему) это неважно.

Ответ. +-sqrt(5)/2.