n^3+3n^2+5n+3=n(n^2+3n+2)+3n+3=n(n+1)(n+2)+3(n+1).
Из любых трех последовательных чисел n, n+1, n+2 одно всегда делится на 3, значит и их произведение n(n+1)(n+2) тоже делится на 3. 3(n+1) очевидно, делится на 3. Значит и вся сумма тоже делится на 3.