Сумма внутренних углов любого выпуклого n угольника равна 180градусов (n - 2) . Докажите

Question

Сумма внутренних углов любого выпуклого n угольника равна 180градусов (n - 2) . Докажите

Answer 1

Пусть дан выпуклый н-угольник. Возьмем любую точку этого многоугольника и соединим ее со всеми вершинами. Этими отрезками многоугольник разбивается на н треугольников. Сумма углов всех н треугольников - н*180. Так как сумма углов вокруг выбранной точки = 360, то мы вычитаем ее так как оно не имеет отношения к углам многоугольника. итого
180*н-360=180*(н-2)

Comments

Ну если вы выбрали этот способ доказательства (классический). То сумма углов всех треугольников итак равна 180*k где k-число треугольников. Просто количество треугольников равно не n а n-2 тк из 1 вершины уже выходят две стороны. Откеуда и сумма 180(n-2) . Вот такие моменты ученики не всегда понимают как и вы видимо. Именно поэтому я выбрал другое доказательство . Чтобы ясно было всем :) А ваше доказательство является неверным ибо вы обманули сами себя.

Answer 2

Предлагаю  следующий способ доказательства:
Возьмем внутри выпуклого многоугольника  произвольную точку  q.
От  этой  точки проведем прямую к каждой вершине  и получим. n треугольников. Каждая прямая  делит  внутренние углы многоугольника (фk) на 2 угла. То  сумма   всех образованных  углов равна  сумме углов  данного  многоугольника. Сумма двух соседних углов   равна.
180-qn  где qn-углы при  вершине q. То  сумма  всех углов равна.
S=(180-q1)+(180-q2).......+(180-qn)=180*n -(q1+q2+q3....+qn)
Сумма   всех углов при вершине q  равна  полному углу  360
То  сумма углов  S=180*n-360=180(n-2)
Чтд.